已知：在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交於點E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足為點F，BF與AC交於點...

問題詳情：

已知：在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交於點E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足為點F，BF與AC交於點C，∠BGE=∠ADE．

（1）如圖1，求*：AD=CD；

（2）如圖2，BH是△ABE的中線，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等於△ADE面積的2倍．

【回答】

（1）*見解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．

【解析】

分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根據∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；

（2）設DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，據此知S△ADC=2a2=2S△ADE，*△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分別求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，從而得出*．

詳解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，

∴∠ADE=∠CGF，

∵AC⊥BD、BF⊥CD，

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，

∴∠DAE=∠GCF，

∴AD=CD；

（2）設DE=a，

則AE=2DE=2a，EG=DE=a，

∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2，

∵BH是△ABE的中線，

∴AH=HE=a，

∵AD=CD、AC⊥BD，

∴CE=AE=2a，

則S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；

在△ADE和△BGE中，

∵，

∴△ADE≌△BGE（ASA），

∴BE=AE=2a，

∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a2，

S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2，

S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2，

綜上，面積等於△ADE面積的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．

點睛：本題主要考查全等三角形的判定與*質，解題的關鍵是掌握等腰三角形的判定與*質及全等三角形的判定與*質．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題