問題詳情:
已知正方形ABCD中,E為對角線BD上一點,過E點作EF⊥BD交BC於F,連接DF,G為DF中點,連接EG,CG.
(1)求*:EG=CG;
(2)將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45º,如圖②所示,取DF中點G,連接EG,CG.問(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給出*;若不成立,請説明理由.
(3)將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度,如圖③所示,再連接相應的線段,問(1)中的結論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什麼結論?(均不要求*)
【回答】
1)*:在Rt△FCD中, ∵G為DF的中點, ∴ CG= FD.(1分) 同理,在Rt△DEF中, EG= FD.(2分) ∴ CG=EG.(3分) (2)(1)中結論仍然成立,即EG=CG.(4分) *法一:連接AG,過G點作MN⊥AD於M,與EF的延長線交於N點. 在△DAG與△DCG中, ∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴ △DAG≌△DCG. ∴ AG=CG.(5分) 在△DMG與△FNG中, ∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG. ∴ MG=NG 在矩形AENM中,AM=EN.(6分) 在Rt△AMG 與Rt△ENG中, ∵ AM=EN,MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG. ∴ AG=EG. ∴ EG=CG. (8分) *法二:延長CG至M,使MG=CG, 連接MF,ME,EC,(4分) 在△DCG 與△FMG中, ∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG, ∴△DCG ≌△FMG. ∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ∴MF‖CD‖AB(5分) ∴ . 在Rt△MFE 與Rt△CBE中, ∵ MF=CB,EF=BE, ∴△MFE ≌△CBE(6分) ∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°. (7分) ∴ △MEC為直角三角形. ∵ MG = CG, ∴ EG= MC.(8分)
(3)(1)中的結論仍然成立, 即EG=CG.其他的結論還有:EG⊥CG.(12分)
知識點:特殊的平行四邊形
題型:綜合題