問題詳情:
如圖,已知等邊△ABC,AB=12,以AB為直徑的半圓與BC邊交於點D,過點D作DF⊥AC,垂足為F,過點F作FG⊥AB,垂足為G,連結GD.
(1)求*:DF是⊙O的切線;
(2)求FG的長;
(3)求tan∠FGD的值.
【回答】
(1)*:連結OD,如圖,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠C=∠A=∠B=60°,而OD=OB,
∴△ODB是等邊三角形,∠ODB=60°,
∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切線; ………………………………3分
(2)∵OD∥AC,點O為AB的中點,∴OD為△ABC的中位線,∴BD=CD=6.
在Rt△CDF中,∠C=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=CD=3,∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9,
在Rt△AFG中,∵∠A=60°,∴FG=AF×sinA=9×; …………………………6分
(3)過D作DH⊥AB於H.∵FG⊥AB,DH⊥AB,∴FG∥DH,∴∠FGD=∠GDH.
在Rt△BDH中,∠B=60°,∴∠BDH=30°,∴BH=BD=3,DH=BH=3.
在Rt△AFG中,∵∠AFG=30°,∴AG=AF=,∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=,
∴tan∠GDH=,∴tan∠FGD=tan∠GDH=. ………………10分
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題