如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交於點O，AE平分∠BAC，交BC於點E．作DF⊥AE於點H，分別交...

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交於點O，AE平分∠BAC，交BC於點E．作DF⊥AE於點H，分別交AB，AC於點F，G．

（1）判斷△AFG的形狀並説明理由．

（2）求*：BF＝2OG．

【遷移應用】

（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當＝時，求的值．

【拓展延伸】

（4）若DF交*線AB於點F，【*質探究】中的其餘條件不變，連結EF，當△BEF的面積為矩形ABCD面積的時，請直接寫出tan∠BAE的值．

【回答】

（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．

理由：∵AE平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

∵DF⊥AE，

∴∠AHF＝∠AHG＝90°，

∵AH＝AH，

∴△AHF≌△AHG（ASA），

∴AF＝AG，

∴△AFG是等腰三角形．

（2）*：如圖2中，過點O作OL∥AB交DF於L，則∠AFG＝∠OLG．

∵AF＝AG，

∴∠AFG＝∠AGF，

∵∠AGF＝∠OGL，

∴∠OGL＝∠OLG，

∴OG＝OL，

∵OL∥AB，

∴△DLO∽△DFB，

∴＝，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BD＝2OD，

∴BF＝2OL，

∴BF＝2OG．

（3）解：如圖3中，過點D作DK⊥AC於K，則∠DKA＝∠CDA＝90°，

∵∠DAK＝∠CAD，

∴△ADK∽△ACD，

∴＝，

∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，

又∵BF＝2OG，＝，

∴＝＝，設CD＝2x，AC＝3x，則AD＝2x，

∴＝＝．

（4）解：設OG＝a，AG＝k．

①如圖4中，連接EF，當點F在線段AB上時，點G在OA上．

∵AF＝AG，BF＝2OG，

∴AF＝AG＝k，BF＝2a，

∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），

∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，

∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，

∴△ABE∽△DAF，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝，

由題意：10××2a×＝AD•（k+2a），

∴AD2＝10ka，

即10ka＝3k2+4ka，

∴k＝2a，

∴AD＝2a，

∴BE＝＝a，AB＝4a，

∴tan∠BAE＝＝．

②如圖5中，當點F在AB的延長線上時，點G在線段OC上，連接EF．

∵AF＝AG，BF＝2OG，

∴AF＝AG＝k，BF＝2a，

∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），

∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，

∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，

∴△ABE∽△DAF，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝，

由題意：10××2a×＝AD•（k﹣2a），

∴AD2＝10ka，

即10ka＝3k2﹣4ka，

∴k＝a，

∴AD＝a，

∴BE＝＝a，AB＝a，

∴tan∠BAE＝＝，

綜上所述，tan∠BAE的值為或．

【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的*質*即可．

（2）如圖2中，過點O作OL∥AB交DF於L，則∠AFG＝∠OLG．首先*OG＝OL，再*BF＝2OL即可解決問題．

（3）如圖3中，過點D作DK⊥AC於K，則∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的*質解決問題即可．

（4）設OG＝a，AG＝k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當點F在線段AB上時，點G在OA上．②如圖5中，當點F在AB的延長線上時，點G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問題．

知識點：各地中考

題型：綜合題