問題詳情:
如圖1,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,點P在邊AD上運動,以P為圓心,PA為半徑的⊙P與對角線AC交於A,E兩點.
(1)如圖2,當⊙P與邊CD相切於點F時,求AP的長;
(2)不難發現,當⊙P與邊CD相切時,⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點,隨着AP的變化,⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數也在變化,若公共點的個數為4,直接寫出相對應的AP的值的取值範圍 .
【回答】
(1)AP=;(2)<AP<或AP=5.
【解析】
(1)如圖2所示,連接PF,在Rt△ABC中,利用勾股定理求出AC=8,設AP=x,則DP=10﹣x,PF=x,由⊙P與邊CD相切於點F,根據已知可推導得出△DPF∽△DAC,根據相似三角形對應邊成比例即可求得AP長;
(2)當⊙P與BC相切時,設切點為G,如圖3,利用面積法求出PG=,然後分兩種情況①⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點,②⊙P過點A、C、D三點,分別討論即可得.
【詳解】
(1)如圖2所示,連接PF,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC==8,
設AP=x,則DP=10﹣x,PF=x,
∵⊙P與邊CD相切於點F,
∴PF⊥CD,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∵AB⊥AC,
∴AC⊥CD,
∴AC∥PF,
∴△DPF∽△DAC,
∴,
∴,
∴x=,即AP=;
(2)當⊙P與BC相切時,設切點為G,如圖3,
S▱ABCD=×6×8×2=10PG,
PG=,
①當⊙P與邊AD、CD分別有兩個公共點時,<AP<,即此時⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4,
②⊙P過點A、C、D三點,如圖4,⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數為4,
此時AP=5,
綜上所述,AP的值的取值範圍是:<AP<或AP=5.
故*為:<AP<或AP=5.
【點睛】
本題考查了切線的判定、直線與圓的位置關係、相似三角形的判定與*質等知識,正確添加輔助線、熟練掌握和靈活應用相關知識是解題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:解答題