已知四稜錐PABCD如圖所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB為等邊三角形．（...

問題詳情：

已知四稜錐PABCD如圖所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB為等邊三角形．

（1）*：PD⊥平面PAB；

（2）求二面角P﹣CB﹣A的餘弦值．

【回答】

（1）*：取AB得中點E，連接PE，DE．

∵AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB為等邊三角形

∴AE⊥AB，AE=，BE=CD，EB∥CD

∴四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE=CB=2，DE∥CD

∴AB⊥ED，∴AB⊥面PED⇒AB⊥PD

DE2=PD2+AE2，∴PD⊥AE，

∴PD⊥面PAB

（2）解：由（1）得面PAD⊥面ABCD，

過P作PO⊥ED於O，則PO⊥面ABCD，

過O作OH⊥CB於H，連接PH，則∠PHO為二面角P﹣CB﹣A的平面角．

在Rt△PED中，PO•ED=PE•PD，可得PO=

在Rt△PED中，OH=1，PH=，=

∴二面角P﹣CB﹣A的餘弦值為

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題