如圖，在矩形ABCD中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P為BD上一個動點，以P為圓心，PB長半徑作⊙P，⊙P...

問題詳情：

如圖，在矩形 ABCD 中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P 為 BD 上一個動點，以 P 為圓心，PB 長半徑作⊙P，⊙P 交 CE、BD、BC 交於 F、G、H（任意兩點不重合），

（1）半徑 BP 的長度範圍為     ；

（2）連接 BF 並延長交 CD 於 K，若 tan ÐKFC = 3 ，求 BP；

（3）連接 GH，將劣弧 HG 沿着 HG 翻折交 BD 於點 M，試探究是否為定值，若是求出該值，若不是，請説明理由.

【回答】

（1）；（2）BP=1；（3）

【分析】

（1）當點G和點E重合，當點G和點D重合兩種臨界狀態，分別求出BP的值，因為任意點都不重合，所以BP在兩者之間即可得出*；

（2）∠KFC和∠BFE是對頂角，得到，得出EF的值，再根據△BEF∽△FEG，求出EG的值，進而可求出BP的值；

（3）設圓的半徑，利用三角函數表示出PO，GO的值，看用面積法求出，在中由勾股定理得出MQ的值，進而可求出PM的值即可得出*．

【詳解】

（1）當G點與E點重合時，BG=BE，如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，

∴BD=5，

∵CE⊥BD，

∴,

∴,

在△BEC中，由勾股定理得：

,

∴,

當點G和點D重合時，如圖所示：

∵△BCD是直角三角形，

∴BP=DP=CP,

∴，

∵任意兩點都不重合，

∴，

（2）連接FG，如圖所示：

∵∠KFC=∠BFE，tan ÐKFC = 3，

∴，

∴，

∴,

∵BG是圓的直徑，

∴∠BFG=90°，

∴∠GFE+∠BFE=90°，

∵CE⊥BD，

∴∠FEG=∠FEB=90°，

∴∠GFE+∠FGE=90°，

∴∠BFE=∠FGE

∴△BEF∽△FEG，

∴,

∴,

∴,

∴BG=EG+BE=2，

∴BP=1，

（3）為定值，

過作,連接，，交GH於點O，如下圖所示：

設，

則，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

【點睛】

本題考查了動圓問題，矩形的*質，面積法的運用，三角函數，相似三角形的判定和*質等知識點，屬於圓和矩形的綜合題，難度中等偏上，利用數形結合思想和紮實的基礎是解決本題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題