對任意的k∈[-1,1],函數f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恆大於零,求x的取值範圍.

問題詳情：

對任意的k∈[-1,1],函數f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恆大於零,求x的取值範圍.

【回答】

解把f(x)看成k的函數,設g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4),分類討論如下:

(1)當x=2時,f(x)=0,

故x=2不滿足f(x)>0.

(2)當x≠2時,有g(k)=f(x)=x2+(k-4)x-2k+4=(x-2)k+(x2-4x+4),k∈[-1,1].

f(x)的值(對k∈[-1,1])恆大於零,也就是g(k)(k∈[-1,1])恆大於零,若且唯若線段的兩個端點的函數值大於零時,線段在橫軸上方,g(k)>0恆成立.

由

解得x<1或x>3.

綜上可知,x的取值範圍為(-∞,1)∪(3,+∞).

知識點：*與函數的概念

題型：解答題