設函數f(x)＝x3－x2＋6x－a.(1)對於任意實數x，f′(x)≥m恆成立，求m的最大值；(2)若方程f...

問題詳情：

設函數f(x)＝x3－x2＋6x－a.

(1)對於任意實數x，f′(x)≥m恆成立，求m的最大值；

(2)若方程f(x)＝0有且僅有一個實根，求a的取值範圍．

【回答】

解：(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，

因為x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，

即3x2－9x＋(6－m)≥0恆成立，

所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，

即m的最大值為－.

(2)因為當x＜1時，f′(x)＞0；當1＜x＜2時，f′(x)＜0；當x＞2時，f′(x)＞0.

所以當x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝－a，

當x＝2時，f(x)取極小值f(2)＝2－a，

故當f(2)＞0或f(1)＜0時，方程f(x)＝0僅有一個實根．

解得a＜2或a＞.

知識點：導數及其應用

題型：解答題