已知函數f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)滿足f(2)<f(3)．(1)求k的值並求出相應的f(x)的...

問題詳情：

已知函數f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)滿足f(2)<f(3)．

(1)求k的值並求出相應的f(x)的解析式；

(2)對於(1)中得到的函數f(x)，試判斷是否存在q>0，使函數g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區間[－1,2]上的值域為[－4，]？若存在，求出q；若不存在，請説明理由．

【回答】

 (1)∵f(2)<f(3)，

∴f(x)在第一象限是增函數．

故－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2.

又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.

當k＝0或k＝1時，－k2＋k＋2＝2，

∴f(x)＝x2.

(2)假設存在q>0滿足題設，由(1)知

g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．

∵g(2)＝－1，∴兩個最值點只能在端點(－1，g(－1))和頂點(，)處取得．

而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，

∴g(x)max＝＝，

g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.

q＝2.∴存在q＝2滿足題意．

知識點：*與函數的概念

題型：解答題