已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°°，AC=3，BC=4．（1）求AB的長；（2）在直線AC、BC上...

問題詳情：

已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°°，AC=3，BC=4．

（1）求AB的長；

（2）在直線AC、BC上分別取一點M、N，使得△AMN≌△ABN，求CN的長．

【回答】

考點： 勾股定理；全等三角形的判定． 

分析： （1）由勾股定理求出AB即可；

（2）分兩種情況：①當∠BAN=∠MAN，且AM=AB時，則BN=MN，且AM=AB=5，求出CM，設CN=x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②當∠BAN=∠MAN，且AM=AB時，則BN=MN，且AM=AB=5，求出CM=8，設CN=x，則BN=MN=x+4，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB===5；

（2）分兩種情況：

①如圖1所示：

當∠BAN=∠MAN，且AM=AB時，有△AMN≌△ABN，

則BN=MN，且AM=AB=5，

∴CM=2，

設CN=x，

在Rt△MCN中，MC2+CN2=MN2，

即22+x2=（4﹣x）2，

解得：x=，

∴CN=；

②如圖2所示：

當∠BAN=∠MAN，且AM=AB時，有△AMN≌△ABN，

則BN=MN，且AM=AB=5，

∴CM=8，

設CN=x，則BN=MN=x+4，

在Rt△MCN中，MC2+CN2=MN2，

即82+x2=（4+x）2，

解得：x=6，

∴CN=6；

綜上所述：CN的長為或6．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題