已知函數.（1）當時，求*：；（2）當時，若不等式恆成立，求實數的取值範圍；（3）若，*.

問題詳情：

已知函數.

（1）當時，求*：；

（2）當時，若不等式恆成立，求實數的取值範圍；

（3）若，*.

【回答】

【解析】

分析：（1）先利用導數求函數，再*. （2）把不等式恆成立轉化為≥0，再利用導數求即得a的取值範圍. (3)利用第（2）問的結論和分析法*.

詳解：（1）當時，，，

當時，；當時，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

，.

（2），令，則.

①當時，在上，，單調遞增，，即，在上為增函數，

，當時滿足條件.

②當時，令，解得，在上，，單調遞減，

當時，有，即在上為減函數，，不合題意.

綜上，實數的取值範圍為.

（3）由（2）得，當，時，，即=，

欲*不等式，

只需*，

只需*，

只需* ，

設，則.

當時，恆成立，且，恆成立.

原不等式得*.

點睛：本題的難點在第（3）問，直接*比較困難.難點一是這裏要注意觀察利用第（2）問的結論，難點二是要運用分析法來分析轉化命題.難點三是要構造函數.本題意在考查利用導數解答函數問題的綜合能力，屬於難題.

知識點：導數及其應用

題型：解答題