如圖，經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路...

問題詳情：

如圖，經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異於村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設計，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)．

【回答】

解法一：設∠AMN＝θ，在△AMN中，

因為MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分

在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分

AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP

＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ)         ………………………………8分

＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4

＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)．                 

    若且唯若2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

答：設計∠AMN為60時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．

解法二(構造直角三角形)：

設∠PMD＝θ，在△PMD中，

∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．           ……………2分

在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，

AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥時，結論也正確)．……………6分

AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2

＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ                  

＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋

 此時AM＝AN＝2，∠PAB＝30°                        

解法三：設AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．

在△AMN中，因為MN＝2，∠MAN＝60°，

所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，

即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．                

因為x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．

所以AP2≤12，即AP≤2．

若且唯若x＝y＝2時，AP取得最大值2．        

    答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．              

解法四(座標法)：以AB所在的直線為x軸，A為座標原點，建立直角座標系．

設M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，

∴(x1－x2)2＋3x＝4．                               

＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12，                    即AP≤2．                            

   答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小． 解法五(變換法)：以AB所在的直線為x軸，A為座標原點，建立直角座標系．

設M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．

∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x1x2

∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2．      …………………4分

∵△MNP為正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．

x0－x1＝(x2－x1)＋x2，y0＝－(x2－x1)＋x2．

∴x0＝2x2＋x1，y0＝x1．                      

∴AP2＝x＋y＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2  

＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12，                  即AP≤2．                             

答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．…

解法六(幾何法)：由運動的相對*，可使△PMN不動，點A在運動．

由於∠MAN＝60°，∴點A在以MN為弦的一段圓弧(優弧)上，

設圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，

由圖形的幾何*質知：AP的最大值為PF＋R．           

在△AMN中，由正弦定理知：＝2R，

∴R＝，                                   

∴FM＝FN＝R＝，又PM＝PN，∴PF是線段MN的垂直平分線．

設PF與MN交於E，則FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．

即FE＝，又PE＝．                           

∴PF＝，∴AP的最大值為PF＋R＝2．             

答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．

知識點：解三角形

題型：解答題