如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，DC上，AE、AF分別交BD於點M，N，連接CN、EN，且CN...

問題詳情：

如圖，在正方形ABCD 中，點E，F分別在邊BC，DC上，AE、AF分別交BD於點M，N，連接CN、EN，且CN=EN．下列結論：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④EF2=2BM2+2DN2；⑤圖中只有4對相似三角形．其中正確結論的個數是（　　）

A．5    B．4    C．3    D．2

【回答】

B解：將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADH．

∵四邊形ABCD是中正方形，

∴AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，

在△BNA和△BNC中，

，

∴△NBA≌△NBC，

∴AN=CN，∠BAN=∠BCN，

∵EN=CN，

∴AN=EN，∠NEC=∠NCE=∠BAN，

∵∠NEC+∠BEN=180°，

∴∠BAN+∠BEN=180°，

∴∠ABC+∠ANE=180°，

∴∠ANE=90°，

∴AN=NE，AN⊥NE，故①正確，

∵∠3=45°，∠1=∠4，

∴∠2+∠4=∠2+∠1=45°，

∴∠3=∠FAH=45°，∵AF=AF，AE=AH，

∴△AFE≌△AFH，

∴EF=FH=DF+DH=DF+BE，∠AFH=∠AFE，故②正確，

∵∠MAN=∠NDF=45°，∠ANM=∠DNF，

∴∠AMN=∠AFD，

∴∠DFE=2∠AMN，故③正確，

∵∠MAN=∠EAF，∠AMN=∠AFE，

∴△AMN∽△AFE，

∴==，

∴EF=MN，

如圖2中，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG，

易*△ANG≌△ANM，△GDN是直角三角形，

∴MN=GN，

∴MN2=DN2+DG2=DN2+BM2，

∴EF2=2（DN2+BM2）=2BM2+2DN2，故④正確，

圖中相似三角形有△ANE∽△BAD～△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM∽△DAM等，故⑤錯誤，

故選B．

知識點：相似三角形

題型：選擇題