已知正方形ABCD中，點E在BC上，連接AE，過點B作BF⊥AE於點G，交CD於點F．（1）如圖1，連接AF，...

問題詳情：

已知正方形ABCD中，點E在BC上，連接AE，過點B作BF⊥AE於點G，交CD於點F．

（1）如圖1，連接AF，若AB=4，BE=1，求AF的長；

（2）如圖2，連接BD，交AE於點N，連接AC，分別交BD、BF於點O、M，連接GO，求*：GO平分∠AGF；

（3）如圖3，在第（2）問的條件下，連接CG，若CG⊥GO，求*：AG=CG．

【回答】

【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD=AD=AB=4，∠ABE=∠C=∠D=90°，AC⊥BD，∠ABO=45°，

∴∠ABG+∠CBF=90°，

∵BF⊥AE，

∴∠ABG+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△BCF和△ABE中，

，

∴△BCF≌△ABE（ASA），

∴CF=BE=1，

∴DF=CD=CF=3，

∴AF===5；

（2）*：∵AC⊥BD，BF⊥AE，

∴∠AOB=∠AGB=∠AGF=90°，

∴A、B、G、O四點共圓，

∴∠AGO=∠ABO=45°，

∴∠FGO=90°﹣45°=45°=∠AGO，

∴GO平分∠AGF；

（3）*：連接EF，如圖所示：

∵CG⊥GO，

∴∠OGC=90°，

∵∠EGF=∠BCD=90°，

∴∠EGF+∠BCD=180°，

∴C、E、G、F四點共圓，

∴∠EFC=∠EGC=180°﹣90°﹣45°=45°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE=CF，

同（1）得：△BCF≌△ABE，

∴CF=BE，

∴CE=BE=BC，

∴OA=AC=BC=CE，

由（1）得：A、B、G、O四點共圓，

∴∠BOG=∠BAE，

∵∠GEC=90°+∠BAE，∠GOA=90°+∠BOG，

∴∠GOA=∠GEC，

又∵∠EGC=∠AGO=45°，

∴△AOG∽△CEG，

∴=，

∴AG=CG．

知識點：圓的有關*質

題型：綜合題