如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中點，ED的延長線...

問題詳情：

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線相交於點F．

（1）求*：DF是BF和CF的比例中項；

（2）在AB上取一點G，如果AE•AC=AG•AD，求*：EG•CF=ED•DF．

【回答】

*：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°．

∵E是AC的中點，

∴DE=AE=CE，

∴∠ADE=∠A，

∴∠BCD=∠ADE．

又∠ADE=∠FDB，

∴∠FCD=∠FDB．

∵∠CFD=∠DFB，

∴△CFD∽△DFB，

∴DF2=BF•CF．

（2）∵AE•AC=AG•AD，

∴=．

∵∠A=∠A，

∴△AEG∽△ADC，

∴EG∥BC，

∴△EGD∽△FBD，

∴=．

由（1）知：△CFD∽△DFB，

∴=，

∴=，

∴EG•CF=ED•DF．

知識點：相似三角形

題型：解答題