問題詳情:
如圖1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,點D,E分別是邊BC,AC的中點,連接DE,將△EDC繞點C按順時針方向旋轉,記旋轉角為α.
(1)問題發現
① 當時, ;② 當時,
(2)拓展探究
試判斷:當0°≤α<360°時,的大小有無變化?請僅就圖2的情況給出*.
(3)問題解決
當△EDC旋轉至A、D、E三點共線時,直接寫出線段BD的長.
【回答】
(1)①,②.(2)無變化;理由參見解析.(3),.
【分析】
(1)①當α=0°時,在Rt△ABC中,由勾股定理,求出AC的值是多少;然後根據點D、E分別是邊BC、AC的中點,分別求出AE、BD的大小,即可求出的值是多少.
②α=180°時,可得AB∥DE,然後根據,求出的值是多少即可.
(2)首先判斷出∠ECA=∠DCB,再根據,判斷出△ECA∽△DCB,即可求出的值是多少,進而判斷出的大小沒有變化即可.
(3)根據題意,分兩種情況:①點A,D,E所在的直線和BC平行時;②點A,D,E所在的直線和BC相交時;然後分類討論,求出線段BD的長各是多少即可.
【詳解】
(1)①當α=0°時,
∵Rt△ABC中,∠B=90°,
∴AC=,
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點,
∴,BD=8÷2=4,
∴.
②如圖1,
,
當α=180°時,
可得AB∥DE,
∵,
∴
(2)如圖2,
,
當0°≤α<360°時,的大小沒有變化,
∵∠ECD=∠ACB,
∴∠ECA=∠DCB,
又∵,
∴△ECA∽△DCB,
∴.
(3)①如圖3,
,
∵AC=4,CD=4,CD⊥AD,
∴AD=
∵AD=BC,AB=DC,∠B=90°,
∴四邊形ABCD是矩形,
∴BD=AC=.
②如圖4,連接BD,過點D作AC的垂線交AC於點Q,過點B作AC的垂線交AC於點P,
,
∵AC=,CD=4,CD⊥AD,
∴AD=,
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點,
∴DE==2,
∴AE=AD-DE=8-2=6,
由(2),可得
,
∴BD=.
綜上所述,BD的長為或.
知識點:相似三角形
題型:解答題