問題詳情:
如圖,在△ABC中,AB=AC,D為直線BC上一動點(不與點B,C重合),在AD的右側作△ACE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)當D在線段上時.
①求*:.
②請判斷點D在何處時,,並説明理由.
(2)當時,若中最小角為28°,求的度數.
【回答】
(1)①*見解析;②D運動到BC中點時,AC⊥DE;(2)28°或32°或92°.
【解析】
【分析】
(1)①根據SAS即可*;②D運動到BC中點時,AC⊥DE;利用等腰三角形的三線合一即可*;
(2)分三種情形分別求解即可解決問題.
【詳解】
(1)①∵∠DAE=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,∵,
∴△BAD≌△CAE.
②D運動到BC中點時,AC⊥DE.理由如下:
如圖2,連接DE.
∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵∠BAD=∠CAE,∴∠CAD=∠CAE.
∵AD=AE,∴AC⊥DE.
(2)∠ADB的度數為28°或32°或92°.
理由:①如圖3①中,當點D在CB的延長線上時.
∵CE∥AB,∴∠BAE=∠AEC,∠BCE=∠ABC.
∵△DAB≌△EAC,∴∠ADB=∠AEC,∠ABD=∠ACE,∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°﹣∠ACE=180°﹣∠ABD=∠ABC=∠ACB,∴△ABC是等邊三角形.
此時∠ADB或∠BAD可為最小角28°,
∴∠ADB=∠ABC﹣∠BAD=32°或∠ADB=28°.
②當點D在線段BC上時,同理可*△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE.
∵CE∥AB,∴∠BAC=∠ACE=∠ABC,∴△ABC為等邊三角形,∴∠ABD=60°,此時最小角只能是∠DAB=28°,此時∠ADB=180°﹣28°﹣60°=92°.
③當點D在BC 延長線上時,同理△BAD≌△CAE,∠BAC=∠ACE=∠ABC,
∴△ABC為等邊三角形,∠BAD=∠CAE,AD=AE.
∵∠BAC=∠DAE=60°,∴△ADE為等邊三角形.
此時△ABD中,最小角只能是∠ADB=28°.
綜上所述:滿足條件的∠ABD的值為28°或32°或92°.
【點睛】
本題考查了三角形綜合題、等腰三角形的*質、全等三角形的判定和*質、等邊三角形的判定與*質等知識,解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題,學會用分類討論的首先思考問題,屬於中考壓軸題.
知識點:等腰三角形
題型:解答題