如圖1，在△ABC中，∠ACB為鋭角，點D為*線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADE...

問題詳情：

如圖1，在△ABC中，∠ACB為鋭角，點D為*線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．（提示：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關係為　　，線段CF、BD的數量關係為　　；

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，並説明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是鋭角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足　　條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），不用説明理由．

【回答】

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）①*△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD與CF相等且垂直；

②①的結論仍成立，同理*△DAB≌△FAC，可得結論：垂直且相等；

（2）當∠ACB滿足45°時，CF⊥BC；如圖4，作輔助線，*△QAD≌△CAF，即可得出結論．

【解答】解：（1）①CF與BD位置關係是垂直，數量關係是相等，理由是：

如圖2，∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∴∠DAC+∠CAF=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，

∴∠CAF=∠BAD，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，

∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

即∠BCF=90°，

∴BC⊥CF，

即BD⊥CF；

故*為：垂直，相等；

②當點D在BC的延長線上時，①的結論仍成立，理由是：

如圖3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∠ACF=∠ABD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=∠ABC=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD；

（2）當∠BCA=45°時，CF⊥BD，理由是：

如圖4，過點A作AQ⊥AC，交BC於點Q，

∵∠BCA=45°，

∴∠AQC=45°，

∴∠AQC=∠BCA，

∴AC=AQ，

∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，

∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠QAD=∠CAF，

∴△QAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AQD=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD．

【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的*質和判定，本題的三個結論都是*三角形全等得出，所以利用SAS*三角形全等是本題的關鍵；第（2）問，恰當地作輔助線，構建等腰直角三角形，同樣也是構建兩個三角形全等得出結論．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題