[2012·福建卷]如圖1－3所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M為稜...

問題詳情：

 [2012·福建卷] 如圖1－3所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M為稜DD1上的一點．

(1)求三稜錐A－MCC1的體積；

(2)當A1M＋MC取得最小值時，求*：B1M⊥平面MAC.

圖1－3

【回答】

解：(1)由長方體ABCD－A1B1C1D1知，

AD⊥平面CDD1C1，

∴點A到平面CDD1C1的距離等於AD＝1，

又S△MCC1＝CC1×CD＝×2×1＝1，

∴VA－MCC1＝AD·S△MCC1＝.

(2)將側面CDD1C1繞DD1逆時針轉90°展開，與側面ADD1A1共面(如圖)，

當A1，M，C共線時，A1M＋MC取得最小值．

由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M為DD1中點．

連接C1M，在△C1MC中，MC1＝，MC＝，CC1＝2.

∴CC＝MC＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.

又由長方體ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM.

又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M；

同理可*，B1M⊥AM，

又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題