問題詳情:
已知二次函數的最小值為-4,且關於x的不等的解集為.
(1)求函數的解析式;
(2)求函數的零點個數.
【回答】
解 (1)∵f(x)是二次函數,且關於x的不等式f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤3,x∈R},
∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.
故函數f(x)的解析式為f(x)=x2-2x-3. (2)∵g(x)=-4ln x=x--4ln x-2(x>0),
∴g′(x)=1+-=.令g′(x)=0,得x1=1,x2=3. 當x變化時,g′(x),g(x)的取值變化情況如下:
x | (0,1) | 1 | (1,3) | 3 | (3,+∞) |
g′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
g(x) | | 極大值 | | 極小值 | |
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當0<x≤3時,g(x)≤g(1)=-4<0.又因為g(x)在(3,+∞)上單調遞增,因而g(x)在(3,+∞)上只有1個零點.故g(x)在(0,+∞)上只有1個零點.
知識點:函數的應用
題型:解答題