有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點A順時針旋轉90°後得到矩形AMEF（如圖1），連接BD，MF，若BD...

問題詳情：

有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點A順時針旋轉90°後得到矩形AMEF（如圖1），連接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．

  （1）試探究線段BD 與線段MF的數量關係和位置關係，並説明理由；

  （2）把△BCD 與△MEF 剪去，將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB1D1，邊AD1交FM 於點K（如圖2），設旋轉角為β（0°＜β＜90°），當△AFK 為等腰三角形時，求β的度數；

  （3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如圖3），F2M2與AD交於點P，A2M2與BD交於點N，當NP∥AB時，求平移的距離．

【回答】

【分析】（1）有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點A順時針旋轉90°後得到矩形AMEF（如圖1），得BD＝MF，△BAD≌△MAF，推出BD＝MF，∠ADB＝∠AFM＝30°，進而可得∠DNM的大小．

（2）分兩種情形討論①當AK＝FK時，②當AF＝FK時，根據旋轉的*質得出結論．

（3）求平移的距離是A2A的長度．在矩形PNA2A中，A2A＝PN，只要求出PN的長度就行．用△DPN∽△DAB得出對應線段成比例，即可得到A2A的大小．

【解答】解：（1）結論：BD＝MF，BD⊥MF．理由：

如圖1，延長FM交BD於點N，

由題意得：△BAD≌△MAF．

∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．

又∵∠DMN＝∠AMF，

∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，

∴∠DNM＝90°，

∴BD⊥MF．

（2）如圖2，

①當AK＝FK時，∠KAF＝∠F＝30°，

則∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

即β＝60°；

②當AF＝FK時，∠FAK＝（180°﹣∠F）＝75°，

∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°，

即β＝15°；

綜上所述，β的度數為60°或15°；

（3）如圖3，

由題意得矩形PNA2A．設A2A＝x，則PN＝x，

在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝16，∠F＝∠ADB＝30°，

∴A2M2＝8，A2F2＝8，

∴AF2＝8﹣x．

∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°，

∴AP＝AF2•tan30°＝8﹣x，

∴PD＝AD﹣AP＝8﹣8+x．

∵NP∥AB，

∴∠DNP＝∠B．

∵∠D＝∠D，

∴△DPN∽△DAB，

∴＝，

∴＝，

解得x＝12﹣4，即A2A＝12﹣4，

∴平移的距離是（12﹣4）cm．

【點評】本題屬於四邊形綜合題，主要考查了旋轉的*質，相似三角形的判定與*質，勾股定理的運用，等腰三角形的*質的運用運用．在利用相似三角形的*質時注意使用相等線段的代換以及注意分類思想的運用．

知識點：解直角三角形與其應用

題型：綜合題