問題詳情:
如圖,四稜錐中,平面,,,.
(I)*:;
(Ⅱ)若是中點,與平面所成的角的正弦值為,求的長.
【回答】
(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)取的中點,連接,由,,得三點共線,且,又,再利用線面垂直的判定定理*.
(Ⅱ)設,則,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加求得,再過作,則平面,即點到平面的距離,由是中點,得到到平面的距離,然後根據與平面所成的角的正弦值為求解.
【詳解】
(Ⅰ)取的中點,連接,
由,,得三點共線,
且,又,,
所以平面,
所以.
(Ⅱ)設,,,
在底面中,,
在中,由余弦定理得:,
在中,由余弦定理得,
兩式相加得:,
所以 ,
,
過作,則平面,
即點到平面的距離,
因為是中點,所以為到平面的距離,
因為與平面所成的角的正弦值為,
即,
解得.
【點睛】
本題主要考查線面垂直的判定定理,線面角的應用,還考查了轉化化歸的思想和空間想象運算求解的能力,屬於中檔題.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題