在△ABC中，AC＝BC，D，E，F分別是直線AC，AB，BC上的點，且AD＝BE，AE＝BF．（1）如圖1，...

問題詳情：

在△ABC中，AC＝BC，D，E，F分別是直線AC，AB，BC上的點，且AD＝BE，AE＝BF．

（1）如圖1，若∠DEF＝30°，求∠ACB的度數；

（2）設∠ACB＝x°，∠DEF＝y°，∠AED＝z°．

①求y與x之間的數量關係；

②如圖2，E為AB的中點，求y與z之間的數量關係；

③如圖2，E為AB的中點，若DF與AB之間的距離為8，AC＝16，求△ABC的面積．

【回答】

（1）解：∵AC＝CB，

∴∠A＝∠B，∵AD＝BE，AE＝BF，

∴△DAE≌△EBF（SAS），

∴∠ADE＝∠BEF，

∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∠BEF+∠DEF+∠AED＝180°，

∴∠A＝∠DEF＝30°，

∴∠A＝∠B＝30°，

∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．

（2）①*：如圖1中，

由（1）可知△DAE≌△EBF，

∴∠ADE＝∠BEF，

∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∠BEF+∠DEF+∠AED＝180°，

∴∠A＝∠DEF＝y°，

∴∠A＝∠B＝y°，

∴x+2y＝180°，

∴y＝90°﹣0.5x．

②如圖2中，連接EC，作EM⊥AC與M，DN⊥AB與N．

∵△DAE≌△EBF，

∴AD＝EB，

∵EA＝EB，

∴AE＝EB＝BF＝AD，

∴∠ADE＝∠AED＝z°，

∴y＝180﹣2z．

（3）如圖2﹣1中，連接CE，作DN⊥AB於N，EM⊥AC於M．

∵•AD•EM＝•AE•DN，AD＝AE，

∴EM＝DN＝8，

∵AE＝EB，

∴S△ABC＝2S△ACE＝2וAC•EM＝128．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題