已知多面體ABC-DEF,四邊形BCDE為矩形,△ADE與△BCF為邊長為2的等邊三角形,AB=AC=CD=D...

問題詳情：

已知多面體ABC-DEF,四邊形BCDE為矩形,△ADE與△BCF為邊長為2的等邊三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.

(1)*:平面ADE∥平面BCF;

(2)求BD與平面BCF所成角的正弦值.

【回答】

(1)*取BC,DE中點分別為O,O1,連接OA,O1A,OF,O1F.

由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=2,可知△ABC,△DEF為等腰直角三角形,

故OA⊥BC,O1F⊥DE,CD⊥DE,CD⊥DF,故CD⊥平面DEF,平面BCDE⊥平面DEF,所以O1F⊥平面BCDE.

同理OA⊥平面BCDE,

所以O1F∥OA,而O1F=OA,故四邊形AOFO1為平行四邊形,

所以AO1∥OF,所以AO1∥平面BCF,

又BC∥DE,故DE∥平面BCF,而AO1∩DE=O1,

所以平面ADE∥平面BCF.

(2)解以O為座標原點,以過O且平行於AC的直線作為x軸,平行於AB的直線作為y軸,OO1為z軸建立空間直角座標系如圖.

則有B(1,1,0),C(-1,-1,0),D(-1,-1,2),F(-1,1,2),

故=(-2,-2,2),=(-2,-2,0),=(-2,0,2).

設平面BCF的法向量為n=(x,y,z),由n,n得取x=1得y=-1,z=1,

故平面BCF的一個法向量為n=(1,-1,1).

設BD與平面BCF所成角為θ,則

sinθ=|cos<,n>|

=

故BD與平面BCF所成角的正弦值為

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題