問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,AB═2,AD=,P是BC邊上的一點,且BP=2CP.
(1)用尺規在圖①中作出CD邊上的中點E,連接AE、BE(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)如圖②,在(1)的條體下,判斷EB是否平分∠AEC,並説明理由;
(3)如圖③,在(2)的條件下,連接EP並廷長交AB的廷長線於點F,連接AP,不添加輔助線,△PFB能否由都經過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形?如果能,説明理由,並寫出兩種方法(指出對稱軸、旋轉中心、旋轉方向和平移距離)
【回答】
1)依題意作出圖形如圖①所示;
(2)EB是平分∠AEC,理由:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°,CD=AB=2,BC=AD=,
∵點E是CD的中點,
∴DE=CE=CD=1,
在△ADE和△BCE中,,
∴△ADE≌△BCE,
∴∠AED=∠BEC,
在Rt△ADE中,AD=,DE=1,
∴tan∠AED==,
∴∠AED=60°,
∴∠BCE=∠AED=60°,
∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC,
∴BE平分∠AEC;
(3)∵BP=2CP,BC==,
∴CP=,BP=,
在Rt△CEP中,tan∠CEP==,
∴∠CEP=30°,
∴∠BEP=30°,
∴∠AEP=90°,
∵CD∥AB,
∴∠F=∠CEP=30°,
在Rt△ABP中,tan∠BAP==,
∴∠PAB=30°,
∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB,
∵CB⊥AF,
∴AP=FP,
∴△AEP≌△FBP,
∴△PFB能由都經過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形,
變換的方法為:將△BPF繞點B順時針旋轉120°和△EPA重合,①沿PF摺疊,②沿AE摺疊.
【點睛】本題考查了矩形的*質,全等三角形的判定和*質,解直角三角形,圖形的變換等,熟練掌握和靈活應用相關的*質與定理、判斷出△AEP≌△△FBP是解本題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:解答題