如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D為AC上一點，AD=2，P為BD上一點，連接CP，以CP為邊，在PC的右側...

問題詳情：

如圖，在邊長為 6 的等邊△ABC 中，D 為 AC 上一點，AD=2，P 為 BD 上一點，連接 CP，以 CP 為 邊，在 PC 的右側作等邊△CPQ，連接 AQ 交 BD 延長線於 E，當△CPQ 面積最小時，QE=____________．

【回答】

【分析】

如圖，過點D作DF⊥BC於F，由“SAS”可*△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的*質和勾股定理可求BD的長，由鋭角三角函數可求BP的長，由相似三角形的*質可求AE的長，即可求解．

【詳解】

如圖，過點D作DF⊥BC於F，

∵△ABC，△PQC是等邊三角形，

∴BC＝AC，PC＝CQ，∠BCA＝∠PCQ＝60°，

∴∠BCP＝∠ACQ，且AC＝BC，CQ＝PC，

∴△ACQ≌△BCP（SAS）

∴AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，

∵AC＝6，AD＝2，

∴CD＝4，

∵∠ACB＝60°，DF⊥BC，

∴∠CDF＝30°，

∴CF＝CD＝2，DF＝CF÷tan30°=CF＝2，

∴BF＝4，

∴BD＝==2，

∵△CPQ是等邊三角形，

∴S△CPQ＝CP2，

∴當CP⊥BD時，△CPQ面積最小，

∴cos∠CBD＝，

∴，

∴BP＝，

∴AQ＝BP＝，

∵∠CAQ＝∠CBP，∠ADE＝∠BDC，

∴△ADE∽△BDC，

∴，

∴，

∴AE＝，

∴QE＝AQ−AE＝．

故*為；．

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和*質，等邊三角形的*質，鋭角三角函數，相似三角形的判定和*質，直角三角形的*質，勾股定理等知識，求出BP的長是本題的關鍵．

知識點：相似三角形

題型：填空題