問題詳情:
在矩形ABCD中,AD>AB,點P是CD邊上的任意一點(不含C,D兩端點),過點P作PF∥BC,交對角線BD於點F.
(1)如圖1,將△PDF沿對角線BD翻折得到△QDF,QF交AD於點E.求*:△DEF是等腰三角形;
(2)如圖2,將△PDF繞點D逆時針方向旋轉得到△P'DF',連接P'C,F'B.設旋轉角為α(0°<α<180°).
①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的內部時,求*:△DP'C∽△DF'B.
②如圖3,若點P是CD的中點,△DF'B能否為直角三角形?如果能,試求出此時tan∠DBF'的值,如果不能,請説明理由.
【回答】
(1)*見解析;(2)①*見解析;②或 .
【解析】
(1)根據翻折的*質以及平行線的*質可知∠DFQ=∠ADF,所以△DEF是等腰三角形;
(2)①由於PF∥BC,所以△DPF∽△DCB,從而易*△DP′F′∽△DCB;
②由於△DF'B是直角三角形,但不知道哪個的角是直角,故需要對該三角形的內角進行分類討論.
【詳解】(1)由翻折可知:∠DFP=∠DFQ,
∵PF∥BC,
∴∠DFP=∠ADF,
∴∠DFQ=∠ADF,
∴△DEF是等腰三角形;
(2)①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的內部時,
∵∠P′DF′=∠PDF,
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC,
∴∠P′DC=∠F′DB,
由旋轉的*質可知:△DP′F′≌△DPF,
∵PF∥BC,
∴△DPF∽△DCB,
∴△DP′F′∽△DCB
∴ ,
∴△DP'C∽△DF'B;
②當∠F′DB=90°時,如圖所示,
∵DF′=DF=BD,
∴,
∴tan∠DBF′=;
當∠DBF′=90°,此時DF′是斜邊,即DF′>DB,不符合題意;
當∠DF′B=90°時,如圖所示,
∵DF′=DF=BD,
∴∠DBF′=30°,
∴tan∠DBF′=.
【點睛】本題考查了相似三角形的綜合問題,涉及旋轉的*質,鋭角三角函數的定義,相似三角形的*質以及判定等知識,綜合*較強,有一定的難度,熟練掌握相關的*質與定理、運用分類思想進行討論是解題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:解答題