已知圓的圓心在軸正半軸上，半徑為，且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）設點，過點作直線與圓交於兩點，若，求直...

問題詳情：

已知圓的圓心在軸正半軸上，半徑為，且與直線相切．

（1）求圓的方程；

（2）設點，過點作直線與圓交於兩點，若，求直線的方程；

 （3）設是直線上的點，過點作圓的切線，切點為．求*：經過

      三點的圓必過定點，並求出所有定點的座標．

【回答】

（1）解：設圓心C（a，0），（a＞0）， 則由直線和圓相切的條件：d=r， 可得=5，解得a=2（負值捨去）， 即有圓C的方程為（x-2）2+y2=25； （2）解：若直線l的斜率不存在，即l：x=-1， 代入圓的方程可得，y=±4，即有|AB|=8，成立； 若直線l的斜率存在，可設直線l：y-=k（x+1）， 即為2kx-2y+3+2k=0， 圓C到直線l的距離為d==， 由AB=8，即有2=8， 即有d=3，即=3， 解得k=， 則直線l的方程為3x-4y+9=0,

所以l的方程為3x-4y+9=0或x=-1; （3）*：由於P是直線x+y+6=0上的點， 設P（m，-m-6）， 由切線的*質可得AC⊥PA， 經過A，P，C，的三點的圓，即為以PC為直徑的圓， 則方程為（x-2）（x-m）+y（y+m+6）=0， 整理可得（x2+y2-2x+6y）+m（y-x+2）=0， 可令x2+y2-2x+6y=0，且y-x+2=0， 解得x=2，y=0，或x=-2，y=-4． 則有經過A，P，C三點的圓必過定點， 所有定點的座標為（2，0），（-2，-4）．

【解析】本題考查直線和圓的位置關係，主要考查相交和相切的關係，同時考查點到直線的距離公式和絃長公式、切線的*質和圓恆過定點的問題. （1）設出圓心，運用直線和圓相切的條件：d=r，計算可得圓的方程； （2）設出直線l的方程，注意討論斜率是否存在，再由點到直線的距離公式和絃長公式，計算即可得到直線方程； （3）設出P的座標，根據切線的*質，可得經過A，P，C，的三點的圓，即為以PC為直徑的圓，求得圓的方程，運用曲線系恆過定點的方法整理，解方程即可得到所有定點．

知識點：圓與方程

題型：解答題