已知圓心為C(－2,6)的圓經過點M(0,6－2)．(1)求圓C的標準方程；(2)若直線l過點P(0,5)且被...

問題詳情：

已知圓心為C(－2,6)的圓經過點M(0,6－2)．

(1)求圓C的標準方程；

(2)若直線l過點P(0,5)且被圓C截得的線段長為4，求直線l的方程；

(3)是否存在斜率是1的直線l′，使得以l′被圓C所截得的弦EF為直徑的圓經過原點？若存在，試求出直線l′的方程；若不存在，請説明理由．

【回答】

 (1)圓C的半徑為|CM|＝＝4，

∴圓C的標準方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝16.......................4分

(2)方法一　如圖所示，設直線l與圓C交於A，B兩點且D是AB的中點，則|AB|＝4，|AD|＝2且CD⊥AB.

∵圓C的半徑為4，即|AC|＝4，

∴在Rt△ACD中，可得|CD|＝＝2，

即點C到直線l的距離為2.

(i)當所求直線l的斜率存在時，設所求直線的方程為y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.

由點到直線的距離公式得＝2，

解得k＝.

∴此時直線l的方程為3x－4y＋20＝0.

(ii)當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0.

將x＝0代入(x＋2)2＋(y－6)2＝16，得(y－6)2＝16－4＝12，y－6＝±2，

∴y1＝6＋2，y2＝6－2，|y1－y2|＝4，

∴方程為x＝0的直線也滿足題意，

∴所求直線l的方程為3x－4y＋20＝0或x＝0.

方法二　當所求直線l的斜率存在時，設所求直線的方程為y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.

聯立直線與圓C的方程

消去y得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0，①

設方程①的兩根為x1，x2，

由根與係數的關係得②

由弦長公式得|x1－x2|＝

＝4，③

將②式代入③，並解得k＝，

此時直線l的方程為3x－4y＋20＝0.

當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，

仿方法一驗算得方程為x＝0的直線也滿足題意．

∴所求直線l的方程為3x－4y＋20＝0或x＝0

(3)方法一　假設存在直線l′滿足題設條件，設l′的方程為y＝x＋m，則EF的中點N是兩直線y＝x＋m與y－6＝－(x＋2)的交點，即N(，)，

∴|CN|＝＝.

∵以EF為直徑的圓經過原點，∴OE⊥OF，

∴|EN|＝|ON|＝，

又∵CN⊥EF，|CE|2＝|CN|2＋|EN|2，

∴2＋2＋2＝16，化簡得m2－8m＋24＝0.

∵方程m2－8m＋24＝0沒有實數解，

∴不存在滿足題設條件的直線l′.

方法二　假設存在直線l′滿足題設條件，並設l′的方程為y＝x＋m，點E(x3，y3)，點F(x4，y4)，聯立直線與圓C的方程

消去y得2x2＋2(m－4)x＋m2－12m＋24＝0.

由根與係數的關係得④

∵以EF為直徑的圓經過原點，∴OE⊥OF.

若E、F中有一點在y軸上，則另一點必在x軸上，而在圓C的方程中令y＝0可得x無實數解，故本情況不會出現．

∴·＝－1，即x3x4＋y3y4＝0，

∴x3x4＋(x3＋m)(x4＋m)＝0，

化簡得2x3x4＋(x3＋x4)m＋m2＝0，

以④代入並化簡得m2－8m＋24＝0.

∵方程m2－8m＋24＝0沒有實數解，

∴不存在滿足題設條件的直線l′

知識點：圓與方程

題型：解答題