問題詳情:
已知函數有且只有一個零點,其中.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對任意的,有成立,求實數的最大值;
(Ⅲ)設,對任意, *:不等式恆成立.
【回答】
解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣a,+∞),.
由f'(x)=0,得x=1﹣a>﹣a.
∵當﹣a<x<1﹣a時,f'(x)>0;當x>1﹣a時,f'(x)<0,
∴f(x)在區間(﹣a,1﹣a]上是增函數,在區間[1﹣a,+∞)上是減函數,
∴f(x)在x=1﹣a處取得最大值.
由題意知f(1﹣a)=﹣1+a=0,解得a=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=ln(x+1)﹣x,
當k≥0時,取x=1得,f(1)=ln2﹣1<0,知k≥0不合題意.
當k<0時,設g(x)=f(x)﹣kx2=ln(x+1)﹣x﹣kx2.
則
令g/(x)=0,得x1=0,.
①若≤0,即k≤﹣時,g'(x)>0在x∈(0,+∞)上恆成立,
∴g(x)在[0,+∞)上是增函數,從而總有g(x)≥g(0)=0,
即f(x)≥kx2在[0,+∞)上恆成立.
②若,即時,對於,g'(x)<0,
∴g(x)在上單調遞減.
於是,當取時,g(x0)<g(0)=0,即f(x0)≥不成立.
故不合題意.
綜上,k的最大值為.
(Ⅲ) 由h(x)=f(x)+x=ln(x+1).
不妨設x1>x2>﹣1,則要*,
只需*,
即*,
即*.
設,則只需*,
化簡得.
設,則,
∴φ(t)在(1,+∞)上單調遞增,
∴φ(t)>φ(1)=0.
即,得*.
故原不等式恆成立.
知識點:函數的應用
題型:解答題