某學校活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其*質時，經歷瞭如下過程：●*作發現：在等腰△ABC中，AB＝AC，分...

問題詳情：

某學校活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其*質時，經歷瞭如下過程：

●*作發現：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB於點F，EG⊥AC於點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是　     　（填序號即可）

①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB＝∠DMB．

●數學思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數量和位置關係？請給出*過程；

●類比探究：

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．答：　       　．

【回答】

解：●*作發現：

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°

在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD＝CE，AD＝AE，

∵DF⊥AB於點F，EG⊥AC於點G，∴AF＝BF＝DF＝AB，AG＝GC＝GE＝AC．

∵AB＝AC，∴AF＝AG＝AB，故①正確；

∵M是BC的中點，∴BM＝CM．

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，

即∠DBM＝∠ECM．

在△DBM和△ECM中，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD＝ME．故②正確；

連接AM，根據前面的*可以得出將圖形1，沿AM對摺左右兩部分能完全重合，

∴整個圖形是軸對稱圖形，故③正確．

∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥BC，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，

∵∠ADB＝90°，∴四邊形ADBM四點共圓，∴∠ADM＝∠ABM，

∵∠AHD＝∠BHM，∴∠DAB＝∠DMB，故④正確，故*為：①②③④

●數學思考：MD＝ME，MD⊥ME．

理由：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，∴AF＝AB，AG＝AC．

∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，DF＝AB，EG⊥AC，EG＝AC，

∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．

∵M是BC的中點，∴MF∥AC，MG∥AB，∴四邊形AFMG是平行四邊形，

∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，∴∠DFM＝∠MGE．

在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴DM＝ME，∠FDM＝∠GME．

∵MG∥AB，∴∠GMH＝∠BHM．

∵∠BHM＝90°+∠FDM，∴∠BHM＝90°+∠GME，

∵∠BHM＝∠DME+∠GME，∴∠DME+∠GME＝90°+∠GME，即∠DME＝90°，

∴MD⊥ME．∴DM＝ME，MD⊥ME；

●類比探究：

∵點M、F、G分別是BC、AB、AC的中點，∴MF∥AC，MF＝AC，MG∥AB，MG＝AB，

∴四邊形MFAG是平行四邊形，∴MG＝AF，MF＝AG．∠AFM＝∠AGM

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴DF＝AF，GE＝AG，∠AFD＝∠BFD＝∠AGE＝90°

∴MF＝EG，DF＝MG，∠AFM﹣∠AFD＝∠AGM﹣∠AGE，即∠DFM＝∠MGE．

在△DFM和△MGE中，，

∴△DFM≌△MGE（SAS），∴MD＝ME，∠MDF＝∠EMG．

∵MG∥AB，∴∠MHD＝∠BFD＝90°，∴∠HMD+∠MDF＝90°，∴∠HMD+∠EMG＝90°，

即∠DME＝90°，∴△DME為等腰直角三角形．

知識點：平行四邊形

題型：解答題