在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB於點M，BN⊥AC交AC於點N．（1）在圖1中，求*：△...

問題詳情：

在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB於點M，BN⊥AC交AC於點N．

（1）在圖1中，求*：△BMC≌△CNB；

（2）在圖2中的線段CB上取一動點P，過P作PE∥AB交CM於點E，作PF∥AC交BN於點F，求*：PE+PF＝BM；

（3）在圖3中動點P在線段CB的延長線上，類似（2）過P作PE∥AB交CM的延長線於點E，作PF∥AC交NB的延長線於點F，求*：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．

【回答】

*：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵CM⊥AB，BN⊥AC，

∴∠BMC＝∠CNB＝90°，

在△BMC和△CNB中，

，

∴△BMC≌△CNB（AAS）；

（2）∵△BMC≌△CNB，

∴BM＝NC，

∵PE∥AB，

∴△CEP∽△CMB，

∴＝，

∵PF∥AC，

∴△BFP∽△BNC，

∴＝，

∴+＝+＝1，

∴PE+PF＝BM；

（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM，

∵△BMC≌△CNB，

∴MC＝BN，

∵∠ANB＝90°，

∴∠MAC+∠ABN＝90°，

∵∠OMB＝90°，

∴∠MOB+∠ABN＝90°，

∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，

∴△AMC∽△OMB，

∴＝，

∴AM•MB＝OM•MC，

∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN，

∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．

知識點：相似三角形

題型：解答題