問題詳情:
(背景)如圖(a),△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形,BC,DE分別是底邊,求*:BD=CE.
(探究)如圖(b),△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.
①∠AEB的度數為________;②線段BE與AD之間的數量關係是________.
(拓展)如圖(c),△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點A,D,E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.
①求∠AEB的度數;
②請直接寫出線段CM,AE,BE之間的數量關係.
【回答】
背景:見解析;探究:①60° ②BE=AD;拓展:(1)90°;(2)AE=BE+2CM
【解析】
背景:根據全等三角形的判定方法,判斷出△BAD≌△CAE,即可判斷出BD=CE;
探究:①根據△ACB和△DCE均為等邊三角形,可得AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∠CDE=∠CED=60°,據此判斷出∠ACD=∠BCE;然後根據全等三角形的判定方法,判斷出△ACD≌△BCE,即可判斷出∠BEC=∠ADC,進而判斷出∠AEB的度數為60°即可;
②,由△ACD≌△BCE,即可判斷出BE=AD;
拓展:①根據△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,可得AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,據此判斷出∠ACD=∠BCE;然後根據全等三角形的判定方法,判斷出△ACD≌△BCE,即可判斷出BE=AD,∠BEC=∠ADC,進而判斷出∠AEB的度數為90°即可;
②根據∠DCE=90°,CD=CE,CM⊥DE,可得CM=DM=EM,所以DE=DM+EM=2CM,據此判斷出AE=BE+2CM即可.
【詳解】
背景:∵∠BAC=∠DAE=40°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,,
∴△BAD≌△CAE,∴BD=CE;
探究:①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∠CDE=∠CED=60°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,,
∴△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC,
∵點A,D,E在同一直線上,
∴∠ADC=180-60=120°,
∴∠BEC=120°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120-60=60°,
故*為:60°;
②∵△ACD≌△BCE,
∴BE=AD,
故*為:BE=AD;
拓展:①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,∠CDE=∠CED=45°,
∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,
∵點A,D,E在同一直線上,
∴∠ADC=180°-∠CDE=180°-45°=135°,
∴∠BEC=135°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°;
②∵∠DCE=90°,CD=CE,CM⊥DE,
∴CM=DM=EM,
∴DE=DM+EM=2CM,
又∵AD=BE,
∴AE=AD+DE=BE+2CM
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與*質、等腰直角三角形的*質、等邊三角形的*質等,熟練掌握全等三角形的判定與*質是解本題的關鍵.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題