某數學興趣小組在數學課外活動中，研究三角形和正方形的*質時，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB...

問題詳情：

某數學興趣小組在數學課外活動中，研究三角形和正方形的*質時，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點(點D不與B，C重合)，以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF．

(1)觀察猜想

如圖①，當點D在線段BC上時．

①BC與CF的位置關係為：____________；

②BC，CD，CF之間的數量關係為：____________；(將結論直接寫在橫線上)

(2)數學思考

如圖②，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予*；若不成立，請你寫出正確結論再給予*；

(3)拓展延伸

如圖③，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF於點G，連接GE．若已知AB＝2，CD＝BC，請求出GE的長．

【回答】

解：①垂直；         

② BC = CF+ CD       

（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．

∵正方形ADEF中，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中，，

∴△DAB≌△FAC，

∴∠ABD=∠ACF，

∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，

∴CF⊥BC．

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC．        

（3）解：過A作AH⊥BC於H，過E作EM⊥BD於M，EN⊥CF於N，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC=AB=4，AH=BC=2，

∴CD=BC=1，CH=BC=2，

∴DH=3，

由（2）*得BC⊥CF，CF=BD=5，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四邊形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

又∵∠ADH+∠EDM=90° ,∠EDM+∠DEM=90°,

∴∠ADH=∠DEM.

在△ADH與△DEM中，，

∴△ADH≌△DEM，

∴DH=EM=CN=3.

又∵△BCG是等腰直角三角形，

∴，

∴EG==．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題