已知，在等邊△ABC中，AB=2，D，E分別是AB，BC的中點（如圖1）．若將△BDE繞點B逆時針旋轉，得到△...

問題詳情：

已知，在等邊△ABC中，AB=2，D，E分別是AB，BC的中點（如圖1）．若將△BDE繞點B逆時針旋轉，得到△BD1E1，設旋轉角為α（0°＜α＜180°），記*線CE1與AD1的交點為P．

（1）判斷△BDE的形狀；

（2）在圖2中補全圖形，

①猜想在旋轉過程中，線段CE1與AD1的數量關係並*；

②求∠APC的度數；

（3）點P到BC所在直線的距離的最大值為　　．（直接填寫結果）

【回答】

【考點】作圖-旋轉變換．

【分析】（1）由D，E分別是AB，BC的中點得到DE=BC，BD=BA，加上△ABC為等邊三角形，則∠B=60°，BA=BC，所以BD=BE，於是可判斷△BDE為等邊三角形；

（2）①根據旋轉的*質得△BD1E1為等邊三角形，則BD1=BE1，∠D1BE1=60°，而∠ABC=60°，所以∠ABD1=∠CBE1，則路旋轉的定義，△ABD1可由△CBE1繞點B逆時針旋轉得到，然後根據旋轉的*質得CE1=AD1；

②由於△ABD1可由△CBE1繞點B逆時針旋轉得到∠BAD1=∠BCE1，然後根據三角形內角和定理和得∠APC=∠ABC=60°；、

（3）由於∠APC=∠D1BE1=60°，則可判斷點P、D1、B、E1共圓，於是可判斷當BP⊥BC時，點P到BC所在直線的距離的最大值，此時點E1在AB上，然後利用含30度的直角三角形三邊的關係可得點P到BC所在直線的距離的最大值．

【解答】解：（1）∵D，E分別是AB，BC的中點，

∴DE=BC，BD=BA，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=60°，BA=BC，

∴BD=BE，

∴△BDE為等邊三角形；

（2）①CE1=AD1．理由如下：

∵△BDE繞點B逆時針旋轉，得到△BD1E1，

∴△BD1E1為等邊三角形，

∴BD1=BE1，∠D1BE1=60°，

而∠ABC=60°，

∴∠ABD1=∠CBE1，

∴△ABD1可由△CBE1繞點B逆時針旋轉得到，

∴CE1=AD1；

②∵△ABD1可由△CBE1繞點B逆時針旋轉得到，

∴∠BAD1=∠BCE1，

∴∠APC=∠ABC=60°；

（3）∵∠APC=∠D1BE1=60°，

∴點P、D1、B、E1共圓，

∴當BP⊥BC時，點P到BC所在直線的距離的最大值，此時點E1在AB上，

在Rt△PBC中，PB=AB=×2=2，

∴點P到BC所在直線的距離的最大值為2．

故*為2．

【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的*質可知，對應角都相等都等於旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉後的圖形．也考查了等邊三角形的*質．

知識點：圖形的旋轉

題型：解答題