問題詳情:
已知,如圖1,BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線,BE平分∠DBC交DC於點E,延長BC到點F,使CF=CE,連接DF,交BE的延長線於點G.
(1)求*:△BCE≌△DCF;
(2)求CF的長;
(3)如圖2,在AB上取一點H,且BH=CF,若以BC為x軸,AB為y軸建立直角座標系,問在直線BD上是否存在點P,使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的P點座標;若不存在,説明理由.
【回答】
【解答】(1)*:如圖1,
在△BCE和△DCF中,
,
∴△BCE≌△DCF(SAS);
(2)*:如圖1,
∵BE平分∠DBC,OD是正方形ABCD的對角線,
∴∠EBC=∠DBC=22.5°,
由(1)知△BCE≌△DCF,
∴∠EBC=∠FDC=22.5°(全等三角形的對應角相等);
∴∠BGD=90°(三角形內角和定理),
∴∠BGF=90°;
在△DBG和△FBG中,
,
∴△DBG≌△FBG(ASA),
∴BD=BF,DG=FG(全等三角形的對應邊相等),
∵BD==,
∴BF=,
∴CF=BF﹣BC=﹣1;
(3)解:如圖2,∵CF=﹣1,BH=CF
∴BH=﹣1,
①當BH=BP時,則BP=﹣1,
∵∠PBC=45°,
設P(x,x),
∴2x2=(﹣1)2,
解得x=2﹣或﹣2+,
∴P(2﹣,2﹣)或(﹣2+,﹣2+);
②當BH=HP時,則HP=PB=﹣1,
∵∠ABD=45°,
∴△PBH是等腰直角三角形,
∴P(﹣1,﹣1);
③當PH=PB時,∵∠ABD=45°,
∴△PBH是等腰直角三角形,
∴P(,),
綜上,在直線BD上是否存在點P,使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形,所有符合條件的P點座標為(2﹣,2﹣)、(﹣2+,﹣2+)、(﹣1,﹣1)、(,).
知識點:特殊的平行四邊形
題型:綜合題