如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別...

問題詳情：

如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．

(Ⅰ)求該橢圓的離心率和標準方程；

(Ⅱ)過B1作直線l交橢圓於P，Q兩點，

使PB2⊥QB2，求直線l的方程．

【回答】

 （1） 如圖，設所求橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，右焦點為F2(c,0)．

因△AB1B2是直角三角形，

又|AB1|＝|AB2|，

故∠B1AB2為直角，

因此|OA|＝|OB2|，得b＝.

結合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，

故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝.………3分

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由題設條件S△AB1B2＝4得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標準方程為：＋＝1.

(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為x＝my－2.代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.

設P(x1，y1)，Q(x2， y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，

因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，

又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，

所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2

＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16

＝－－＋16＝－，

由PB2⊥QB2，得·＝0，

即16m2－64＝0，解得m＝±2

所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題