已知橢圓的短軸長為，且離心率為，圓．(1)求橢圓C的方程，(2)點P在圓D上，F為橢圓右焦點，線段PF與橢圓C...

問題詳情：

已知橢圓的短軸長為，且離心率為，圓．

(1)求橢圓C的方程，

(2)點P在圓D上，F為橢圓右焦點，線段PF與橢圓C相交於Q，若，求的取值範圍．

【回答】

【詳解】（1）由題可知，又，解得

橢圓的方程為

（2）由（1）知圓，點座標為

設，，由可得：，

所以，由可得：

又，代入，消去，整理成關於的等式為：

，則此方程在上必須有解

令

則，，

若，則（捨去）或

若，則（捨去）或

若在上有且僅有一實根

則由得：

若在上有兩實根（包括兩相等實根）

則解得：

綜上可得：的取值範圍是

【點睛】本題考查橢圓標準方程求解、二次函數零點分佈問題.解決此題的難點在於能夠通過向量關係將問題轉化為二次函數在特定區間內的根的個數的問題，即二次函數圖象問題.討論二次函數圖象通常需討論以下內容：開口方向、對稱軸位置、判別式、區間端點值符號.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題