如圖6，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長...

問題詳情：

如圖6，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點FF2為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異於頂點的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

圖6

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；

(2)設直線PFPF2的斜率分別為kk2，求*：k1k2＝1.

【回答】

【解】　(1)設橢圓的半焦距為c，由題意知＝，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.

又a2＝b2＋c2，因此b＝2.

故橢圓的標準方程為＋＝1.

由題意設等軸雙曲線的標準方程為－＝1(m＞0)，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以m＝2，

因此雙曲線的標準方程為－＝1.

(2)設P(x0，y0)，則

因為點P在雙曲線x2－y2＝4上，所以x－y＝4.

因此k1k2＝＝1，即k1k2＝1.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題