如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B...

問題詳情：

如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足＝，AB⊥AF2.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)D是過A，B，F2三點的圓上的點，D到直線l：x－y－3＝0的最大距離等於橢圓長軸的長，求橢圓C的方程．

【回答】

 (1)設B(x0,0)，由F2(c,0)，A (0，b)知，＝(c，－b)，＝(x0，－b)，

∵⊥，∴cx0＋b2＝0，x0＝－.

由＝知F1為BF2中點，故－＋c＝－2c，

∴b2＝3c2＝a2－c2，即a2＝4c2，故橢圓C的離心率e＝.

(2)由(1)知＝，得c＝a，於是F2(a,0)，B(－a,0)，

△ABF的外接圓圓心為F1(－a,0)，半徑r＝a，

D到直線l：x－y－3＝0的最大距離等於2a，∴圓心到直線的距離為a，

∴＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，

∴橢圓C的方程為＋＝1.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題