如圖，在直角座標系中有Rt△AOB，O為座標原點，OB＝1，tan∠ABO＝3，將此三角形繞原點O順時針旋轉9...

問題詳情：

如圖，在直角座標系中有Rt△AOB，O為座標原點，OB＝1，tan∠ABO＝3，將此三角形繞原點O順時針旋轉90°，得到Rt△COD，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象剛好經過A，B，C三點．

（1）求二次函數的解析式及頂點P的座標；

（2）過定點Q的直線l：y＝kx﹣k+3與二次函數圖象相交於M，N兩點．

①若S△PMN＝2，求k的值；

②*：無論k為何值，△PMN恆為直角三角形；

③當直線l繞着定點Q旋轉時，△PMN外接圓圓心在一條拋物線上運動，直接寫出該拋物線的表達式．

【回答】

【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，則OA＝3，OC＝3，

即點A、B、C的座標分別為（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），

則二次函數表達式為：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），

即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

故函數表達式為：y＝﹣x2+2x+3，

點P（1，4）；

（2）將二次函數與直線l的表達式聯立並整理得：

x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，

設點M、N的座標為（x1，y1）、（x2，y2），

則x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，

則：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，

同理：y1y2＝9﹣4k2，

①y＝kx﹣k+3，當x＝1時，y＝3，即點Q（1，3），

S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），則x2﹣x1＝4，

|x2﹣x1|＝，

解得：k＝±2；

②點M、N的座標為（x1，y1）、（x2，y2）、點P（1，4），

則直線PM表達式中的k1值為：，直線PN表達式中的k2值為：，

為：k1k2＝＝＝﹣1，

故PM⊥PN，

即：△PMN恆為直角三角形；

③取MN的中點H，則點H是△PMN外接圓圓心，

設點H座標為（x，y），

則x＝＝1﹣k，

y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），

整理得：y＝﹣2x2+4x+1，

即：該拋物線的表達式為：y＝﹣2x2+4x+1．

知識點：各地中考

題型：綜合題