問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,雙曲線經過點B,連結OB.將OB繞點O按順時針方向旋轉90°並延長至A,使OA=2OB,且點A的座標為(4,2).
(1)求過點B的雙曲線的函數關係式;
(2)根據反比例函數的圖像,指出當x<-1時,y的取值範圍;
(3)連接AB,在該雙曲線上是否存在一點P,使得S△ABP=S△ABO,若存在,求出點P座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)雙曲線的函數關係式為y=﹣;
(2)當x<﹣1時,0<y<2;
(3)存在;點P座標為(﹣,4).
【解析】
試題分析:(1)作AM⊥x軸於點M,BN⊥x軸於點N,由相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN,OA=2OB,再根據OA=2OB,點A的座標為(4,2)可得出B點座標,進而得出反比例函數的關係式;
(2)由函數圖象可直接得出結論;
(3)根據AB兩點的座標可知AB∥x軸,S△ABP=S△ABO=5,再分當點P在AB的下方與當點P在x軸上方兩種情況即可得出結論.
試題解析:(1)作AM⊥x軸於點M,BN⊥x軸於點N,
∵OB⊥OA,∠AMO=∠BNO=90°,
∴∠AOM=∠NBO,
∴△AOM∽△OBN.
∵OA=2OB,
∴,
∵點A的座標為(4,2),
∴BN=2,ON=1,
∴B(﹣1,2).
∴雙曲線的函數關係式為y=﹣;
(2)由函數圖象可知,當x<﹣1時,0<y<2;
(3)存在.
∵yA=yB,
∴AB∥x軸,
∴S△ABP=S△ABO=5,
∴當點P在AB的下方時,點P恰好在x軸上,不合題意捨去;
當點P在x軸上方時,點P在第二象限,得AB•(yP﹣2)=5,即×5×(yP﹣2)=5,解得yP=4,
∴點P座標為(﹣,4).
考點:1、相似三角形的判定與*質;2、待定係數法;3、函數大小的比較;4、反比例函數
知識點:二次函數的圖象和*質
題型:解答題