如圖，在四稜錐P-ABCD中，AB丄平面PAD,PD=AD,E為PB的中點，向量，點H在AD上，且(I)：E...

問題詳情：

  如圖，在四稜錐P-ABCD中，AB丄平面PAD,PD=AD, E為PB的中點，向量，點H在AD上，且

(I)：EF//平面PAD.

 (II)若PH＝，AD=2, AB=2, CD=2AB,

(1)求直線AF與平面PAB所成角的正弦值.

（2）求平面PAD與平面PBC所成二面角的平面角的餘弦值.

【回答】

（Ⅰ） 取PA的中點Q，連結EQ、DQ，

則E是PB的中點，

,四邊形EQDF為平行四邊形，

，，

………………………………(3分)

（Ⅱ）⑴解法一：*: ,   PH⊥AD, 

又 AB⊥平面PAD，平面PAD,AB⊥PH,

又 PHAD=H, PH⊥平面ABCD; ---------------------------------(4分)

連結AE 

又且

  ………………………………(5分)

由（Ⅰ）知    

………………………………(6分)

,  又 

在   

 又

………………………………(8分)

(2)延長DA，CB交於點M，連接PM，則PM為平面PAD與平面PBC所成二面角的交線。…9分

因為,所以點A,B分別為DM,CM的中點，所以DM=4，

在中：，

 ,……………(10分)

又因為，所以，即為所求的二面角的平面角………(11分)

所以在中：…………………………(12分)

解法二：（向量法）（1）由（Ⅰ）可得  又

在平面ABCD內過點,以H為原點，以正方向建立空間直角座標系

  設平面PAB的一個法向量為

  ，

      得y=0  令 得x=3

………………………………6分

設直線AF與平面PAB所成的角為

則

………………………………（8分 ）

(2) 顯然向量為平面PAD的一個法向量，且

設平面PBC的一個法向量為，

,， 由得到

由得到，令，則，所以， ---10

，所以平面PAD與平面PBC所成二面角的平面角的餘弦值為………………………（12分 ）

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題