【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出瞭如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中...

問題詳情：

【問題情境】

課外興趣小組活動時，老師提出瞭如下問題：

如圖①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值範圍．

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據是       ．

A．SSS           B．SAS           C．AAS           D．HL

（2）由“三角形的三邊關係”可求得AD的取值範圍是       ．

解後反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求*的結論集中到同一個三角形之中．

【初步運用】

如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC於E，交AD於F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求線段BF的長．

【靈活運用】

如圖③，在△ABC中， ∠A＝90°，D為BC中點， DE⊥DF，DE交AB於點E，DF交AC於點F，連接EF．試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關係，並*你的結論．

【回答】

解：【問題提出】

（1）B．································ 3分

（2）2＜AD＜10．···························· 6分

【初步運用】

如圖①，延長AD到M，使DM＝AD，連接BM．

∵AD是△ABC中線，

∴BD＝DC．

又∵∠ADC＝∠MDB，

∴△ADC≌△MDB．

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M．························ 8分

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE．

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M．

∴BF＝BM＝AC＝3＋2＝5．······················· 10分

【靈活運用】

猜想：BE2＋CF2＝EF2·························· 11分

理由：如圖②，延長FD至G，使得DG＝DF，連接BG、EG，則△FDC≌△GDB．

∴CF＝BG，∠FCD＝∠GBD．

∵DF＝DG，DE⊥DF，

∴EF＝EG．······························ 12分

在△ABC中，∵∠A＝90°，

∴∠EBC＋∠FCB＝90°．

∴∠EBC＋∠GBD＝90°，即∠EBG＝90°．················ 13分

∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2．

∴BE2＋CF2＝EF2．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題