探究活動一：如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB於F，...

問題詳情：

探究活動一：

如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB於F，QM交AD於E，線段ME與線段MF的數量關係是　   　．（不必*，直接給出結論即可）

探究活動二：

如圖2，將上題中的“正方形”改為“矩形”，且AB=mBC，其他條件不變（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M=∠B，M是矩形ABCD的對稱中心，MN交AB於F，QM交AD於E），探究並*線段ME與線段MF的數量關係；

探究活動三：

根據前面的探索和圖3，平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中，若AB=mBC，∠M=∠B，M是平行四邊形ABCD的對稱中心，MN交AB於F，QM交AD於E，請探究並*線段ME與線段MF的數量關係．

【回答】

【解答】解：（1）ME=MF．

理由：如圖1，過點M作MH⊥AB於H，MG⊥AD於G，連接AM，[來源:學*科*網Z*X*X*K]

則∠MHF=∠MGE=90°，

∵M是正方形ABCD的對稱中心，

∴AM平分∠BAD，

∴MH=MG，

在正方形ABCD中，∠DAB=90°，而∠MHA=∠MGA=90°，

∴∠EMF=∠HMG=90°，

∴∠FMH=∠EMG，

在△MHF和△MGE中，

∴△MHF≌△MGE（ASA），

∴MF=ME，

故*為：MF=ME；

（2）ME=mMF．

理由：如圖2，過點M作MG⊥AB於G，MH⊥AD於H，

則∠MHE=∠MGF=90°，

在矩形ABCD中，∠A=90°，

∴在四邊形GMHA中，∠GMH=90°，

又∵∠EMF=90°，

∴∠HME=∠GMF，

又∵∠MGF=∠MHE=90°，

∴△MGF∽△MHE，

∴=，

又∵M是矩形ABCD的對稱中心，

∴MG=BC，MH=AB，

∵AB=mBC，

∴==m，

∴ME=mMF；

（3）ME=mMF．

理由：如圖3，過點M作MG⊥AB於G，MH⊥AD於H，

則∠MHE=∠MGF=90°，

在平行四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，而∠EMF=∠B，

∴∠A+∠EMF=180°，

又∵在四邊形AGMH中，∠A+∠HMG=180°，

∴∠EMF=∠GMF，

又∵∠MGF=∠MHE=90°，

∴△MGF∽△MHE，

∴=，

又∵M是矩形ABCD的對稱中心，

∴MG=BC，MH=AB，

∵AB=mBC，

∴===m，

∴ME=mMF．

知識點：相似三角形

題型：綜合題