在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動．△ABC是邊長為2的等邊形，E是AC上一點，小亮以BE為邊向BE的...

問題詳情：

在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動．△ABC是邊長為2的等邊形，E是AC上一點，小亮以BE為邊向BE的右側作等邊三角形BEF，連接CF．

（1）如圖1，當點E在線段AC上時，EF、BC相交於點D，小亮發現有兩個三角形全等，請你找出來，並*．

（2）當點E在線段上運動時，點F也隨着運動，若四邊形ABFC的面積為，求AE的長．

（3）如圖2，當點E在AC的延長線上運動時，CF、BE相交於點D，請你探求△ECD的面積S1與△DBF的面積S2之間的數量關係．並説明理由．

（4）如圖2，當△ECD的面積S1=時，求AE的長．

【回答】

分析】（1）結論：△ABE≌△CBF．理由等邊三角形的*質，根據SAS即可*；

（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S四邊形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，由S四邊形ABCF=，推出S△ABE=，再利用三角形的面積公式求出AE即可；

（3）結論：S2﹣S1=．利用全等三角形的*質即可*；

（4）首先求出△BDF的面積，由CF∥AB，則△BDF的BF邊上的高為，可得DF=，設CE=x，則2+x=CD+DF=CD+，推出CD=x﹣，由CD∥AB，可得=，即=，求出x即可；

【解答】解：（1）結論：△ABE≌△CBF．

理由：如圖1中，

∴∵△ABC，△BEF都是等邊三角形，

∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF．

（2）如圖1中，∵△ABE≌△CBF，

∴S△ABE=S△BCF，

∴S四邊形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，

∵S四邊形ABCF=，

∴S△ABE=，

∴•AE•AB•siin60°=，

∴AE=．

（3）結論：S2﹣S1=．

理由：如圖2中，

∵∵△ABC，△BEF都是等邊三角形，

∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF，

∴S△ABE=S△BCF，

∵S△BCF﹣S△BCE=S2﹣S1，

∴S2﹣S1=S△ABE﹣S△BCE=S△ABC=．

（4）由（3）可知：S△BDF﹣S△ECD=，∵S△ECD=，

∴S△BDF=，

∵△ABE≌△CBF，

∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，

∴∠ABC=∠DCB，

∴CF∥AB，則△BDF的BF邊上的高為，可得DF=，設CE=x，則2+x=CD+DF=CD+，

∴CD=x﹣，

∵CD∥AB，

∴=，即=，

化簡得：3x2﹣x﹣2=0，

解得x=1或﹣（捨棄），

∴CE=1，AE=3．

【點評】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和*質、平行線等分線段定理、解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會理由參數構建方程解決問題，屬於中考壓軸題．

知識點：各地中考

題型：選擇題