問題詳情:
如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是CD的中點,點F是BC邊上的點,AF=AD+FC,平行四邊形ABCD的面積為S,由A、E、F三點確定的圓的周長為t.
(1)若△ABE的面積為30,直接寫出S的值;
(2)求*:AE平分∠DAF;
(3)若AE=BE,AB=4,AD=5,求t的值.
【回答】
(1)平行四邊形ABCD的面積為60;(2)*見解析;(3)△AEF的外接圓的周長t=π.
【解析】(1)作EG⊥AB於點G,由S△ABE=×AB×EG=30得AB•EG=60,即可得出*;
(2)延長AE交BC延長線於點H,先*△ADE≌△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC,結合AF=AD+FC得∠FAE=∠CHE,根據∠DAE=∠CHE即可得*;
(3)先*∠ABF=90°,根據勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+(5﹣FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2,據此求得FC的長,從而得出AF的長度,再由AE=HE、AF=FH知FE⊥AH,即AF是△AEF的外接圓直徑,從而得出*.
【詳解】(1)如圖,作EG⊥AB於點G,
則S△ABE=×AB×EG=30,則AB•EG=60,
∴平行四邊形ABCD的面積為60;
(2)如圖,延長AE交BC延長線於點H,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∴∠ADE=∠HCE,∠DAE=∠CHE,
∵E為CD的中點,
∴CE=ED,
∴△ADE≌△HCE,
∴AD=HC、AE=HE,
∴AD+FC=HC+FC,
由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH,
∴∠FAE=∠CHE,
又∵∠DAE=∠CHE,
∴∠DAE=∠FAE,
∴AE平分∠DAF;
(3)連接EF,
∵AE=BE、AE=HE,
∴AE=BE=HE,
∴∠BAE=∠ABE,∠HBE=∠BHE,
∵∠DAE=∠CHE,
∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE,即∠DAB=∠CBA,
由四邊形ABCD是平行四邊形得∠DAB+∠CBA=180°,
∴∠CBA=90°,
∴AF2=AB2+BF2=16+(5﹣FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2,
解得:FC=,
∴AF=FC+CH=,
∵AE=HE、AF=FH,
∴FE⊥AH,
∴AF是△AEF的外接圓直徑,
∴△AEF的外接圓的周長t=π.
【點睛】本題考查圓的綜合問題,涉及到平行四邊形的*質、矩形的判定與*質、全等三角形的判定與*質、等腰三角形的*質、勾股定理等知識,熟練掌握和靈活運用相關的*質與定理是解題的關鍵.
知識點:平行四邊形
題型:解答題