如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E.F、G分別是AB.CD.DA上的動點，且AE=BF=CG=DH.（1）...

問題詳情：

如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E.F、G分別是上的動點，且AE=BF=CG=DH.

（1）求*：四邊形EFGH是正方形；

（2）判斷直線EG是否經過某一定點，説明理由；

（3）求四邊形EFGH面積的最小值．

【回答】

（1）*：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

AB=DA，

∵AE= DH，

∴BE= AH，

∴△AEH≌△BFE，

∴EH=FE，∠AHE=∠BEF，

同理：FE=GF=HG，

∴EH= FE=GF=HG，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵∠A=90°，

∴∠AHE＋∠AEH=90°，

∴∠BEF＋∠AEH=90°，

∴∠FEH=90°，

∴菱形EFGH是正方形；

（2）解：直線EG經過正方形ABCD的中心，

理由如下：連接BD交EG於點O，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AB=DC

∴∠EBD=∠GDB，

∵AE= CG，

∴BE= DG，

∵∠EOB=∠GOD，

∴△EOB≌△GOD，

∴BO=DO，即點O為BD的中點，

∴直線EG經過正方形ABCD的中心；

（3）解：設AE= DH=x，

則AH=8－x，

在Rt△AEH中，EH2=AE2＋AH2=x2＋(8－x)2= 2x2－16x＋64=2(x－4)2＋32，

∴四邊形EFGH面積的最小值為32cm².

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題