問題詳情:
在正方形ABCD中,E是CD邊上一點(CE>DE),AE,BD交於點F.
(1)如圖1,過點F作GH⊥AE,分別交邊AD,BC於點G,H.
求*:∠EAB=∠GHC;
(2)AE的垂直平分線分別與AD,AE,BD交於點P,M,N,連接CN.
①依題意補全圖形;
圖1 備用圖
②用等式表示線段AE與CN之間的數量關係,並*.
【回答】
(1)詳見解析;(2)①補全圖形,如圖所示.②.詳見解析
【分析】
(1)根據正方形的*質,有AD∥BC,∠BAD=90°,得到∠AGH=∠GHC,再根據GH⊥AE,得到∠EAB=∠AGH,即可*.
(2)①根據垂直平分線的作法步驟進行即可.
②連接AN,連接EN並延長,交AB邊於點Q,根據正方形的*質,得到NA=NC,∠1=∠2,再根據垂直平分線的*質,得到NA=NE,進而得到NC=NE,∠3=∠4,在正方形ABCD中,BA∥CE,∠BCD=90°,得到∠AQE=∠4,∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°,∠ANE=∠ANQ=90°,最後在Rt△ANE中,即可求解.
【詳解】
(1)*:在正方形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,
∴∠AGH=∠GHC.
∵GH⊥AE,
∴∠EAB=∠AGH.
∴∠EAB=∠GHC.
(2)①補全圖形,如圖所示.
②.
*:連接AN,連接EN並延長,交AB邊於點Q.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴點A,點C關於BD對稱.
∴NA=NC,∠1=∠2.
∵PN垂直平分AE,
∴NA=NE.
∴NC=NE.
∴∠3=∠4.
在正方形ABCD中,BA∥CE,∠BCD=90°,
∴∠AQE=∠4.
∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°.
∴∠ANE=∠ANQ=90°.
在Rt△ANE中,
∴.
【點睛】
此題主要考查正方形的*質、垂直平分線的*質和勾股定理,熟練掌握*質就解題關鍵.
知識點:課題學習 最短路徑問題
題型:解答題